Вычисление эффективной процентной ставки

Собственно, смысл эффективной процентной ставки достаточно прост — она призвана отражать реальную стоимость кредита с точки зрения заемщика, то есть учитывать все его побочные выплаты, непосредственно связанные с кредитом (помимо платежей по самому кредиту). Например, такими побочными выплатами являются печально известные «скрытые» банковские комиссии — комиссии за открытие и ведение счета, за прием в кассу наличных денег и т.п. Другой пример: если вы берете автокредит, то банк обязует вас страховать приобретаемый автомобиль на протяжении всего срока кредитования. При этом страховка будет являться для вас обязательной побочной выплатой (правда, уже не самому банку, а страховой компании).

Что интересно, Центробанк, обязав коммерческие банки раскрывать эффективную процентную ставку по кредитам и даже предоставив формулу для ее расчета, не указал, какие конкретно платежи должны в этот расчет включаться. В результате разные банки придерживаются разных точек зрения на этот вопрос: многие, например, не включают в расчет как раз страховые выплаты.

Тем не менее, наиболее правильным и справедливым выглядит подход, согласно которому в расчет эффективной процентной ставки включаются все платежи, которые являются обязательными для получения данного кредита. В частности, все обязательные страховые выплаты.

Разобравшись с этим вопросом, мы теперь можем дать строгое определение эффективной процентной ставки.

Эффективная процентная ставка — это сложная процентная ставка по кредиту, рассчитанная в предположении, что все платежи, необходимые для получения данного кредита, идут на его погашение.

То есть, если в результате получения кредита размером S₀ заемщик вынужден совершать платежиR₀, R₁, R₂, …, R_n в моменты времени t₀ = 0, t₁, t₂, …, t_n соответственно (сюда входят как платежи по самому кредиту, так и побочные комиссии, страховые выплаты и т.п.), то эффективная процентная ставка i находится из соотношения

.

(1)

Эффективная процентная ставка служит в первую очередь для сравнения между собой различных банковских предложений, и при ее вычислении точные даты совершения платежей обычно неизвестны. Поэтому, если платежи совершаются через формально одинаковые промежутки времени продолжительностью τ (ежемесячно, ежеквартально и т.д.), то формула (1) приобретает следующий вид:

.

(2)

Если все платежи заемщика, за исключением, возможно, самого первого, одинаковы ( R₁ = R₂ = … = R_n = R ), то в соответствии с формулой вычисления суммы конечной геометрической прогрессии соотношение для определения эффективной процентной ставки будет таким:

.

(3)

К сожалению, найти точное значение эффективной процентной ставки даже в таком сравнительно простом случае невозможно, поэтому приходится его подбирать (лучше всего — при помощи специального численного метода). Как именно — об этом пойдет речь далее.

Пример.

Для кредита со следующими условиями:

• срок кредитования — 3 года;
• процентная ставка (будем обозначать ее j ) — 18% годовых;
• схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;
• комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;
• ежемесячная комиссия за ведение ссудного счета — 0,1% от суммы кредита

эффективная процентная ставка будет составлять 22,8%. Для проверки найдем значения всех переменных, присутствующих в формуле (3):

• R₀ = 0,01 × S₀ ;
• n = 36;
• τ = ;
• j = 0,18;
• аннуитетный платеж: ;
• R = A + 0,001 × S₀ ≈ 0,0372 × S₀ ;
• i = 0,228;
• месячная эффективная процентная ставка i_м = (1 + i )^τ ≈ 1,017262.

Подставляя эти значения в формулу (3), после сокращения на S₀ легко убеждаемся в справедливости равенства (если, конечно, пренебречь погрешностью округлений):

.

Общий метод вычисления ЭПС

Итак, мы уже отметили, что размер эффективной процентной ставки даже для относительно простых ссудных операций нельзя найти с помощью какой-либо формулы. На помощь здесь приходят так называемые численные методы, которые позволяют за конечное число шагов вычислить приближенное значение искомой величины с необходимой точностью.

Общий метод приближенного вычисления эффективной процентной ставки, который мы рассмотрим далее, может применяться для любой ссуды, платежи по которой совершаются через одинаковые промежутки времени. Его основу составляет численный метод Ньютона, суть которого, в общих чертах, заключается в следующем.

Допустим, нам нужно найти решение уравнения f(x) = 0, где f(x) — некоторая дифференцируемая функция. Тогда при определенных условиях последовательность чисел {x_(k)}, где самое первое значение x₍₀₎ выбирается самостоятельно, а каждое последующее находится по формуле

,

(4)

сходится к точному решению этого уравнения. Нам сейчас не важно, что это за условия, при желании информацию об ограничениях метода Ньютона можно легко отыскать.

Посмотрим теперь, как использовать этот метод для вычисления эффективной процентной ставки.

Введем новую величину v_τ = (1 + i )^–τ, которая называется множителем дисконтирования для периода времени τ. С ее помощью формулу (2), представляющую собой общее соотношение для нахождения эффективной процентной ставки, можно переписать следующим образом:

.

Нахождение корня этого уравнения эквивалентно нахождению корня функции

.

Эта функция имеет только один положительный корень (нас интересуют только положительные корни), причем, он лежит в интервале (0, 1). Этот корень можно легко найти с помощью метода Ньютона, предварительно вычислив производную функции f(x):

.

Теперь, выбрав в качестве начального приближения x₍₀₎ = 1, с помощью формулы (4) мы получим последовательность чисел x_(k), сходящихся к точному значению v_τ . Приближенное значение искомой эффективной процентной ставки находится из следующего соотношения:

(предполагается, что мы закончили вычисления на шаге с номером n ).

Пример

Найдем эффективную процентную ставку для ссуды размером S₀ = 1000 фунтов стерлингов Соединенного Королевства, выданной на год под простую процентную ставку j = 20%. Для погашения ссуды заемщиком были внесены следующие частичные платежи:

• R₁ = 600 фунтов стерлингов через 3 месяца (t₁ = ¼) после начала сделки;
• R₂ = 310 фунтов стерлингов через 9 месяцев (t₂ = ¾) после начала сделки;
• R₃ = 194,25 фунтов стерлингов через год (t₃ = 1) после начала сделки.

В качестве периода времени τ выберем один квартал (τ = ¼). В соответствии с описанным выше методом, введем вспомогательную функцию

f(x) = 600 x + 310 x³ + 194,25 x⁴ – 1000

и найдем ее производную:

f(x) = 600 + 930 x² + 777 x³.

Теперь, выбрав в качестве начального приближения x₍₀₎ = 1, с помощью формулы (4) построим последовательность приближенных значений дисконтирующего множителяv_τ и эффективной процентной ставки i:

k	x(k)	i
0	1	i ≈ 0
1	0,95481144343303	i ≈ 0,20317704736717
2	0,95284386714354	i ≈ 0,21314588059674
3	0,95284030323558	i ≈ 0,2131640308135
4	0,95284030322392	i ≈ 0,21316403087292
5	0,95284030322392	i ≈ 0,21316403087292

Уже на пятом шаге расчет привел к тому же результату, что и на предыдущем, причем с точностью, которая вам вряд ли когда-нибудь сможет понадобиться. Полученный результат более чем на 1,3% превышает заявленную (номинальную) процентную ставку по ссуде, хотя здесь не было ни скрытых комиссий, ни каких-либо других дополнительных выплат.

Замечание. Лучший способ быстро произвести расчет эффективной процентной ставки (не имея под рукой специального финансового калькулятора или компьютерной программы) — это воспользоваться каким-нибудь табличным редактором. Например, в онлайновом табличном редакторе Google весь расчет выглядит примерно следующим образом:

Рис. Вычисление эффективной процентной ставки с помощью табличного редактора

Обратите внимание на следующие моменты:

1. В табличном редакторе не нужно вручную вычислять коэффициенты при степенях x для производной — они могут быть найдены по формуле, как показано на первом рисунке.
2. С помощью функции SERIESSUM (второй рисунок) можно легко вычислять значения как самой функции f(x), так и ее производной.

Пример

Разберем теперь более сложный, но более актуальный пример.

Кредит размером 24 тысячи евро, выданный на два года под 12% годовых, погашается ежемесячными платежами в соответствии с дифференцированной схемой. Комиссия за организацию кредита составляет 1% от его суммы. Кроме того, каждый месяц с заемщика взимается комиссия за ведение ссудного счета размером 0,1% от суммы кредита. Нам нужно найти эффективную процентную ставку по данному кредиту.

Прежде всего, построим график погашения кредита (без учета структуры платежей). Платежи в счет погашения кредита образуют арифметическую прогрессию с начальным членом

A₁ = ( + 0,12 × ) × 24 000 = 1240 евро

и разностью

– (0,12 × × 24 000) × = – 10 евро.

Кроме того, при получении кредита заемщик был вынужден заплатить 0,01 × 24 000 = 240 евро, а каждый месяц с него взимается комиссия размером 0,001 × 24 000 = 24 евро. Значит, график платежей по кредиту имеет следующий вид:

Рис. График платежей по кредиту

Значения столбца «с комиссией, Rk», за исключением самого первого (с индексом 0), совпадают с коэффициентами при степенях x у функции f(x), которую мы будем использовать в расчетах. Для получения первого коэффициента (при нулевой степениx) нужно из начального платежа R₀ = 240 вычесть размер кредита (формула в левом верхнем углу):

Рис. Нахождение коэффициентов функции f(x)

Коэффициенты при степенях x у производной f‘(x) находятся по уже известному нам принципу:

Рис. Нахождение коэффициентов производной f'(x)

Теперь, наконец, можно применить метод Ньютона для нахождения месячного множителя дисконтирования (формула в левом верхнем углу):

Рис. Нахождение месячного множителя дисконтирования

Одновременно с вычислением месячного множителя дисконтирования определяем саму эффективную процентную ставку i:

Рис. Нахождение эффективной процентной ставки

Как и в примере из предыдущего параграфа, метод Ньютона привел нас к окончательному ответу всего лишь за пять вычислений: эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту приближенно равна 16,38%, на 4,38% больше, чем номинальная ставка.

Вычисление ЭПС для аннуитета

Метод, который мы рассмотрели выше, при правильном его применении, достаточно удобен. Но в определенных случаях, а именно, для аннуитетной схемы погашения кредита, эффективную процентную ставку можно найти еще быстрее и проще. Собственно, основное преимущество метода, который мы рассмотрим далее, заключается в его большей компактности.

Перепишем формулу (3) — соотношение для определения эффективной процентной ставки, которое справедливо при погашении кредита аннуитетными платежами — с помощью уже знакомого нам множителя дисконтирования v_τ = (1 + i )^–τ :

.

(5)

Умножим обе части уравнения (5) на (1 – v_τ ), приведем подобные слагаемые, а затем разделим результат на (S₀ – R₀ + R). В результате мы получим следующее соотношение:

.

(6)

Для нахождения корня уравнения (6) можно использовать уже знакомый нам метод Ньютона.Для этого введем функцию

и найдем ее производную:

.

Теперь, если в качестве начального приближения выбрать

,

(7)

то с помощью формулы (4) можно получить последовательность чисел {x_(k)}, приближающихся к точному значению множителя дисконтирования v_τ .

Пример

Найдем эффективную процентную ставку для кредита из самого первого примера. Условия, напомню, были такие:

• срок кредитования — 3 года;
• процентная ставка j — 18% годовых;
• схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;
• комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;
• ежемесячная комиссия за ведение ссудного счета — 0,1% от суммы кредита.

Кроме того, для определенности будем считать, что размер кредита составляет 12 млн. рублей.

Вычислять эффективную процентную ставку по этому кредиту, по-прежнему, будем с помощью какого-нибудь удобного табличного редактора. Вот так приблизительно будут выглядеть начальные условия (нет необходимости вручную вычислять размеры платежей — можно использовать нужные формулы непосредственно в ячейках таблицы):

Рис. Внесение начальных условий

Следующий шаг — это вычисление коэффициентов функции f(x):

Рис. Вычисление коэффициентов функции f(x)

Первый коэффициент по совместительству является начальным приближением x₍₀₎. Переносим его в соответствующую ячейку и по методу Ньютона вычисляем несколько приближений месячного множителя дисконтирования (обратите внимание на формулу в левом верхнем углу):

Рис. Вычисление месячного множителя дисконтирования

Одновременно с этим вычисляем приближенные значения эффективной процентной ставки i :

Рис. Вычисление эффективной процентной ставки

Как видите, после восьми вычислений мы еще раз подтвердили, что эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту составляет около 22,8%, на 4,8% больше, чем номинальная.

Замечание. Один раз заполнив формочку, подобную приведенной на рисунках, вы впоследствии сможете моментально определять эффективную процентную ставку по любому кредиту, погашаемому в соответствии с аннуитетной схемой, только лишь меняя начальные условия.

В заключение хочется сделать еще одно важное общее замечание. Рассмотренный нами метод гарантированно сойдется (то есть приведет к искомым значениям множителя дисконтирования и эффективной процентной ставки), если в качестве начального значения выбрать величину (7). Если же взять какое-нибудь другое начальное приближение, то метод может сойтись ко второму корню функции f(x) — единице (соответствующее значение эффективной процентной ставки равно нулю). Например, в рассмотренном нами примере так произошло бы, возьми мы в качестве начального приближения любое число больше 0,992.

И еще одно общее замечание относительно выбора численного метода. Существует великое множество численных методов, многие из которых вполне можно было бы применить для решения наших задач. Метод Ньютона был выбран из-за его, на мой взгляд, оптимального соотношения между сложностью применения и скоростью сходимости (вы ведь помните, мы ни в одном из примеров не делали больше восьми вычислений). Существуют более быстрые, но более сложные для понимания методы. Существуют более простые методы, с меньшим количеством ограничений и гарантированной сходимостью, но требующие большого количества вычислений. Например, если бы мы в последнем примере использовали широко известный метод простой итерации, то для достижения требуемой точности нам пришлось бы сделать около сотни вычислений. Понятно, что эти вычисления делает программа, но тем не менее.

Источник: cfin.ru